副業の内容が会社に伝わる可能性がありますでしょうか

雑所得に分類されると思われます。なお、雑所得の分の住民税を自分で納付（普通徴収）を選択すれば、住民税から会社にばれることはないと思われます。

副業の収入は雑所得として確定申告をすることになります。
確定申告の際に、住民税の納付方法を普通徴収(自分で納付)を選択して申告することで、勤務先に副業のことが知られる可能性はなくなると思います。

会社から給与分の住民税を特別徴収で払いながら、確定申告の際には雑所得分のみを普通徴収にする事が可能ということでしょうか？

下記リンク先（給与・公的年金等に係る所得以外の所得に係る住民税の徴収方法の選択）をみてもらうとわかるのですが、確定申告書の2表に住民税に関する事項があって給与所得以外の所得に係る住民税の徴収方法の選択ができるようになっています。自分で納付（普通徴収）を選択すれば、雑所得の分の住民税は自分で納付することになります。

国税庁ＨＰ　手順6 住民税に関する事項を記入する
https://www.nta.go.jp/taxes/shiraberu/shinkoku/tebiki2017/a/03/order6/3-6_01.htm

雑所得を普通徴収にすれば大丈夫なのですね。ありがとうございます。
その状態を前提とするとふるさと納税をした場合はどのような扱いになりますでしょうか？
(雑所得は年間60万前後になる見込みです)

私が見ている範囲ですと、雑所得の住民税（普通徴収）から差し引かれて、それでも差引きれない場合は給与所得の住民税（特別徴収）から差し引かれているような感じです。
ただし、お住いの自治体に確認してもらった方が間違いないです。