だれの経費か

父が生前に全納した固定資産税は、税額が確定し納付もされていますので、父の準確定申告において経費として計上することになります。
一方、父が生前に未払であった不動産収入に係る経費は、あなたが支払っていますので、あなたの不動産所得の必要経費になります。

固定資産税については、特例で納期到来日で必要経費にすることも出来るみたいですが、父が生前に全納していた場合には、この特例はダメですか？

納税通知書が相続開始前に被相続人に届いていますので、被相続人の準確定申告において必要経費に算入する金額の考え方には、①通知された全額、②納期到来分、③納付済み分の３つがあります。追加のご質問は、この考え方の①又は②をとって、相続人の申告上必要経費に計上できないかということかと思います。この点については、①又は②の考え方によれば、被相続人が全く納税をしていないので、相続人の確定申告において、その金額を必要経費に算入することはできます（これは、経費をいつ計上するかという計上時期の問題になります。）。しかし、ご質問のケースでは、被相続人が既に死亡前に全納しておりますので、被相続人の申告上必要経費に計上することになります（必要経費を計上できるのは、あくまでも経費を支払った者となります。）。