個人事業主承継と消費税につきまして

以前は父が代表で課税事業者でしたが、私は今年開業のため2021年と2022年は免税事業者ということで間違いないでしょうか？

→相続による事業承継でない限り消費税の納税義務は引き継ぎませんので2021年は免税事業者ですが、2022年は特定期間の課税売上高も給与等の支払額のいずれも1,000万円を超えた場合は課税事業者になります。

廃業と開業届け提出の際に事業廃止届出書を出していないのですが、いつまでに出せばよろしいでしょうか？

→開業、廃業の日から1月以内が法令により定めれた提出期限です。実際の開業、廃業日でご判断ください。

なお、お父様が課税事業者とのことですので、事業に係る棚卸資産や固定資産等をご質問者様が有償無償に関わらず引き継いだ場合、これらはお父様の課税売上になります。
また、無償で事業用資産等を引き継いで、資産－債務が暦年贈与の基礎控除額110万円を超える場合は、ご質問者様に贈与税が生じます。（事業承継税制の認定を受けている場合を除きます。）

ご教示いただきましてありがとうございます。
今後ともよろしくお願い申し上げます。