経営改善支援を受けるために事業主がしなければならないこと。

こんにちは
仰ることはごもっとものことだと思います。
経営改善支援センターは、提出された経営改善計画の妥当性を検証し補助金の交付の是非を判断するところですので、具体的な助言等をしません。
そのためにも経営改善計画を策定する必要があるのですが、中小企業等では自社で策定するのが困難なケースが多いため税理士等の経営革新等認定支援機関があります。
ですので、ご相談者様がご記載の流れが正しいのですが、おそらくご相談された会計士さんが経営改善計画策定などの経験がないのではないかと思います。
銀行にいきなりリスケ要請に行っても通常は経営改善計画の提出を求められます。（前職が銀行員でしたのでその経験に基づくものです。）

ご相談者様がしなければいけないことは以下の通りです。（経営改善は個別の事情に応じて行うため案件によって対応が変わりますので、あくまで一般的なものとご理解ください。）
1.リスケを要請するに至った原因を明確にする。
2.どのように業績を改善して、いつ頃返済を正常化できるかをイメージする。（漠然としたものでも結構です。）
3.その上で相談に乗ってもらえそうな認定支援機関を探す。
認定支援機関はこちらで検索できます。
http://www.chusho.meti.go.jp/keiei/kakushin/nintei/kyoku/ichiran.htm
4.ご自身で認定支援機関を探すのが厳しければ、中小企業庁認定の地域プラットフォームに相談し、専門家派遣を依頼する。相談は無料です。
地域プラットフォームはこちらから検索できます。
https://www.mirasapo.jp/regionplatform/index.html

ご参考になれば幸いです。

詳しく回答いただきありがとうございます。
３、の「相談に乗ってもらえそうな認定支援機関を探す」が、一番大変です。
認定支援機関の一覧も見ましたが、適当なところがありませんでした。
４、のよろず相談にも行きましたが、認定支援機関を探して、押す段に行くように言われました。

支援センターに申し込むのは、事業主ですか？
申し込みにあたり、認定支援機関と銀行の承諾書が必要なようですが、これらは認定支援機関の税理士さんが用意してくれるのですか？

ご連絡ありがとうございます。
支援センターへの経営改善支援に係る補助金の申込みは事業主となります。
申込みまでの流れは、⓵認定支援機関の支援を得て経営改善計画を作成する。⓶作成した経営改善計画を持って金融機関にリスケなどの支援要請を行い金融機関から所定の同意書を取得する。
これらを経て支援センターに申込むことになります。
経営改善計画は、支援センター所定のものもありますし、認定支援機関が作成したものでも準拠していれば大丈夫です。
認定支援機関の承諾書と金融機関の同意書は支援センター所定のものがあります。
認定支援機関はあくまでサポーターですので、経営改善計画の策定や実行、銀行交渉や支援センターへの申込みの主体は経営者や事業主になります。

認定支援機関は全国で2万8千程登録されていますが、正直なところ経営改善などのコンサルティングができるのは少数ですので、ご希望に叶うような先を探すのは難しいかもしれません。

一度、地域プラットフォームに相談して専門家派遣の依頼を検討されたらいかがでしょうか？ご相談内容に対応してもらえそうな専門家を紹介してくれますし、初回の専門家への相談料は地域プラットフォームを通じて国が負担してくれます。